Isla'egta ee diyaarada, sida loo sameeyo? Noocyada isleegyo diyaarad

meel bannaan oo diyaarad waxaa loo qeexi karaa siyaabo kala duwan (hal dhibic iyo dulinka, dulinka iyo labo dhibcood, saddex dhibcood, iwm). Waa la this maskaxda ku, isla'egta diyaarada yeelan kartaa noocyo kala duwan. Sidoo kale xaaladaha qaarkood waxaa laga yaabaa in diyaarad isku midka ah, dadab, intersecting, iwm On this iyo hadli doonaa in this article. Waxaan baran doonaa in la sameeyo isla'egta guud ee diyaarada iyo ma aha oo kaliya.

foomka caadiga ah ee isla'egta

Ka soo qaad R waa meesha bannaan ee _3, taas oo uu leeyahay qaab a habka dhidibada XYZ. Waxaanu ku qeexnaa ka α dulinka, kaas oo lagu sii dayn doonaa ka bar billow ah O. Iyadoo dhamaadka α dulinka aadka P diyaarad oo dadab tahay in.

Yeero P at ah loo aabo yeelin dhibic S = (x, y, z). dulinka gacan The of dhibic Q warqad calaamad p ah. Dhererka dulinka Shurako α p = IαI iyo Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

dulinka cutubkan, kaas oo la faray in jihada sida α dulinka. α, β iyo γ - waa xaglo in loo sameeyay dhexeeya dulinka iyo tilmaamaha wanaagsan Ʋ meel faasas x, y, z siday u kala horreeyaan. qiyaas The of dhibic on dulinka QεP Ʋ waa joogto ah oo ay le egtahay p (p, Ʋ) = p (r≥0).

isla'egta kor ku xusan waa macno marka p = 0. The diyaarad n kaliya kiiskan, gudbi lahaa dhibic O (α = 0), taas oo asal ahaan, iyo Ʋ dulinka unit, ka O barta sii daayay noqon doonaa dadab iyo in ay P, inkasta oo ay jihada, taas oo macnaheedu yahay in Ʋ dulinka ka goostay ilaa calaamada. isla'egta Previous waa P diyaarad our, ayaa muujiyay qaab dulinka. Laakiin in view of wadataa ay tahay:

P waa ka weyn yahay ama la mid ah 0. Waannu helnay isla'egta diyaarad qaab caadi ah.

isla'egta guud

Haddii isla'egta ku wadataa ay u badin by tiro kasta oo aan la mid yahay eber, waxaan u hesho dhigma isla'eg in this qeexaya diyaaradda aad. Waxay yeelan doontaa foomka soo socda:

Halkan, A, B, C - waa tiro ka mid ah isku mar ka duwan eber. isla'egta Tan waxaa lagu magacaabaa isla'egta foomka guud ee diyaaradda.

The isleegyo of diyaaradaha. xaaladaha Gaarka ah

isla'egta guud ahaan waa la bedeli karaa qaba xaaladaha dheeraad ah. Ka fiirso qaar ka mid ah.

U qaadan in Wehliyaha A waa 0. Tani waxay muujinaysaa in isku midka ah diyaarad si Dibiga dhidibka loo dejiyay ah. Xaaladdan oo kale, qaab isla'eg badala: Wu + Cz + D = 0.

Sidoo kale, qaab isla'eg oo leh shuruudaha soo socda kala duwan yihiin:

• Marka hore, haddii B = 0, isbedel isla'egta in Faash + Cz + D = 0, taas oo muujinaysa lahaa dhigga in Oy dhidibka.
• Marka labaad, haddii C = 0, isla'egta waxaa loo beddelaa Faash + By + D = 0, waa in la yidhaahdo oo ku saabsan isku midka ah si ay u dhidibka loo dejiyay Oz.
• Saddexaad, haddii D = 0, isla'egta muuqan doonaa sida Faash + By + Cz = 0, taas oo ka dhigan tahay in diyaarada intersects O (asalka).
• Tan afraad, haddii A = B = 0, isbedel isla'egta in Cz + D = 0, taas oo cadayn doono inuu is barbardhigga Oxy.
• Fifth, haddii B = C = 0, isla'egta noqdo Faash + D = 0, taas oo macnaheedu yahay in diyaaradda la siman yahay Oyz.
• Sixthly, haddii A = C = 0, isla'egta qaadataa foomka Wu + D = 0, i.e., u sheegi doonaa Oxz dhigga.

Form ee isla'egta ee qaybaha

In kiiska halkaas oo tiro A, B, C, D ka eber kala duwan, qaab isla'eg (0) waxaa laga yaabaa in sida soo socota:

x / a + y / b + z / c = 1,

diidanyihiin a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Waxaan ka helaan intii oo isla'eg sabab u ah diyaarad kala burburiya oo kale. Waa in la ogaadaa in diyaarad this midaysan doonaa-dhidibka x barta la wadataa (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), iyo Oz - (0,0, s).

Marka la eego isla'egta x / a + y / b + z ah / c = 1, ma aha adag tahay in la arki qaraabo diyaarad meelaynta in nidaam loo dejiyay duwo.

The wadataa ee dulinka caadiga ah

The n dulinka caadi ah in P diyaarada ayaa wadataa in waa horgalaha ee isla'egta guud ee diyaarada, i.e. n (A, B, C).

Si loo go'aamiyo ka wadataa of n caadiga ah, waxa ku filan in la ogaado isla'egta guud diyaarad siiyey.

Marka la isticmaalayo isleegta ah ee qaybaha, taas oo uu leeyahay qaab x / a + y / b + z ah / c = 1, sida marka la isticmaalayo isla'egta guud wadataa wixii dulinka caadiga ah waxaa loo qori karaa diyaarad siiyey: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Waa in la ogaadaa in dulinka caadiga ah ee lagu caawiyo si ay u xalliyaan masalooyin kala duwan. Dhibaatooyinka ugu badan waxaa uu ka kooban yahay in diyaarado dadab ama isku midka ah caddayn, hawsha helo xaglaha dhexeeya diyaarado ama xaglaha dhexeeya diyaaradaha iyo khadadka toosan.

Ku qor sida ay isla'eg diyaarada iyo wadataa of dhibic dulinka caadiga ah

A n nonzero dulinka, dadab iyo in ay diyaarad siiyey, loo yaqaan caadiga ah (sida caadiga ah) si ay diyaarad loo dejiyay.

Ka soo qaad in bannaan ee duwo (laydi ah habka dhidibada) Oxyz dhigay:

• dhibic Mₒ la wadataa (hₒ, uₒ, zₒ);
• eber dulinka n = * A i + B * j + C * k.

Waxaad u baahan tahay in la sameeyo isla'egta diyaarada in maraa dhibic Mₒ dadab iyo in ay n caadiga ah.

In meel aan dooran wax dhibic aan sabab lahayn iyo yeero M (x, y, z). Ha dulinka gacan ka mid ah qodob kasta M (x, y, z) uu noqon doono r = x * i + y * j + z k *, iyo dulinka gacan ka mid ah Mₒ dhibic (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. M dhibcood waxay ka tirsanaan doonaan diyaarad siiyo, haddii MₒM dulinka noqon dadab iyo in ay n dulinka ah. Waxaan qori xaaladda orthogonality isticmaalka sheyga scalar:

[MₒM, n] = 0.

Tan iyo MₒM = r-rₒ, isla'egta dulinka ah diyaarada ku eegi doonaa sida tan:

[R - rₒ, n] = 0.

isla'egta Tani waxay sidoo kale yeelan karaan qaab kale. Ujeedada this, sifooyinka alaabta scalar ah, iyo diinta dhinaca bidix ee isla'egta. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Haddii [rₒ, n] muujinaysaa sida s, waxaan ka heli isla'egta soo socda: [r, n] - a = 0 ama [r, n] = s, kaas oo ku muujinayaa niyo Adag ee saadaasha ku saabsan dulinka caadiga ah ee ay gacan-fallaadhaha oo ka mid ah dhibcood la eego in iska leh diyaarada.

Hadda waxaad ka heli kartaa isku xirka diyaarad lagu qoro nooca our isla'egta dulinka [r - rₒ, n] = 0. Tan iyo r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, iyo n = * A i + B * k j + C *, waxaan haysanaa:

Waxaa soo baxday in aan isla'egta waxaa la aasaasay diyaarad marayay barta dadab iyo in ay n caadiga ah:

* A (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Ku qor sida ay isla'eg diyaarada iyo wadataa labo dhibcood collinear diyaarad dulinka ah

Waxaanu ku qeexnaa labo dhibcood loo aabo yeelin M '(x', y ', z') iyo M "(x", y ", z"), iyo sidoo kale dulinka ah (a ', a ", ‴ a).

Hadda waxaan u qori kartaa isla'egta loo dejiyay diyaaradda oo maraa jira dhibic M 'iyo M ", iyo dhibic kasta oo la M wadataa (x, y, z) isku midka ah in ay dulinka ah la siiyo.

Sayidka fallaadhaha M'M x = {x ', y-y', zz '} iyo M "M = {x" -x', y 'y', z "-z '} waa in ay ahaataa coplanar la dulinka ah a = (a ', a ", ‴ a), taas oo macnaheedu yahay in (M'M M" M, a) = 0.

Sidaas isla'egta of diyaarad in meel bannaan oo naga soo fiirin doonaa sida tan:

Nooca isla'egta diyaarad, gudbaya saddex dhibcood

Aan niraahno waxaan heysanaa seddex dhibcood: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ leeyihiin ‴, z ‴), oo ha iska leh line isku. Waxaa lagama maarmaan ah in ay qoraan isla'egta diyaarada marayay seddexda dhibcood ku qeexan. aragti joomatari doodaysaa in noocan oo kale ah diyaarad uusan ka jirin, waxa kaliya mid ka mid ah oo kaliya. Tan iyo markii diyaarad this intersects barta (x ', y', z '), qaab isla'eg ay noqon lahayd:

Halkan, A, B, iyo C waa ka duwan yahay eber waqti isku mid ah. Sidoo kale diyaarada siiyey intersects labo dhibcood ka badan (x ", y", z ") iyo (x ‴, y ‴, z ‴). In xiriir this Waa in la fuliyo noocan oo kale ah xaaladaha:

Hadda waxaan ka abuuri karaan nidaamka direyska isleegyo (toosan) la dahsoon u, v, w:

In naga kiiska x, y ama z taagan dhibic loo aabo yeelin oo dhergiyaa isla'egta (1). Ka fiirsaneysa isla'egta (1) iyo nidaamka isleegyo (2) iyo (3) nidaamka isleegyo tilmaamay in tiradaasi kor ku xusan, ka dhergiyey dulinka N (A, B, C) taas oo nontrivial. Waa sababta ahayn tilmaame ee nidaamka waa eber.

Isla'egta (1) in aan heysano, tani waa isle ee diyaaradda. 3 dhibic ayay dhab ahaantii u dhaco, waana sahlan tahay in la hubiyo. Si arrintan loo sameeyo, aan ballaariyo ahayn tilmaame ah by canaasiirta ee safka kowaad. Oo ka mid ah guryaha hadda jira ahayn tilmaame soo socota in diyaarad isku mar intersects saddex dhibcood ee asal ahaan loo dejiyay (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Sidaas awgeed, waxaan go'aansaday in la qaban ka hor oo inaga mid ah.

xagal Dihedral dhexeeya diyaaradaha

xagal Dihedral waa qaab aan ollogga joomateri sameeyay laba bar-diyaaradood in buslahda ka xariiq toosan. In si kale loo dhigo, qayb ka mid ah meel kaas oo ku eg tahay badhkiis diyaaradaha.

Ka soo qaad waxaan leenahay labo diyaarad la isleegyo soo socda:

Waxaan ognahay in N dulinka = (A, B, C) iyo N¹ = (A¹, H¹, S¹) sida ay diyaarado loo dejiyay yihiin dadab ah. Marka tan la eego, ka leexdo φ dhexeeya fallaadhaha N iyo N¹ xagal siman (dihedral), oo ku yaalla inta u dhaxaysa diyaarado kuwan. Shayga scalar la siiyo by:

NN¹ = | N || N¹ | sababtoo ah φ,

si goan sababtoo ah

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Waa ku filan tahay si ay u eegaan 0≤φ≤π in.

Dhab ahaantii laba diyaaradood in jareyso, foomka laba xagal (dihedral): φ ₁ iyo _{2 φ.} Ay wadarta waa loo siman yahay si π (φ ₁ + ₂ = φ π). Sida cosines ay, qiyamkooda buuxda way siman yihiin, laakiin waxay yihiin calaamadaha kala duwan, in uu yahay, sababtoo ah φ ₁ = -cos φ _2. Haddii in isla'egta (0) waxaa lagu bedelaa A, B iyo C ee -Ciidamada, -B iyo -C siday u kala horreeyaan, isla'egta, waxaan u hesho, go'aamin doona diyaarad la mid ah, xagal kaliya φ in φ sababtoo ah isla'egta = NN ¹ / | N || N ¹ | Waxaa lagu beddeli doonaa by π-φ.

isla'egta ee diyaarada dadab

Loo yaqaan dadab diyaarada, ka dhexeeya oo xagal waa 90 darajo. Isticmaalka waxyaabaha kor ku soo bandhigay, waxaan ka heli kartaa isla'egta of diyaarad dadab iyo in kale. Ka soo qaad waxaan leenahay labo diyaaradood: Faash + By + Cz + D = 0, iyo + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Waxaan dhihi karnaa in ay yihiin orthogonal haddii sababtoo ah = 0. Taas macnaheedu waa in NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

isla'egta of diyaarad isku midka ah

Waxaa loo gudbinayaa laba diyaaradood isku midka ah kuwaas oo ka kooban dhibcood ku lahayn caadi ah.

Xaalada of diyaarado isku midka ah (isla'egyada ay la mid yihiin kuwa xubinta qoraalka ee hore) waa in fallaadhaha ee N iyo N¹, kuwaas oo dadab iyo iyaga, collinear. Taas macnaheedu waa in shuruudaha soo socda la buuxiyo dheellitirnaanta:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Haddii shuruudaha saami waxaa la ballaariyey - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

tani waxay muujinaysaa in diyaarad xogta isku ah. Taas macnaheedu waa in Faash isla'egta + By + Cz + D = 0 iyo + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 sharaxaad ka mid ah diyaarad.

Masaafada ka barta in ay diyaarad

Ka soo qaad waxaan leenahay P diyaarad, kaas oo la siiyo by (0). Waxaa lagama maarmaan ah in la helo meel fog ka soo barta la wadataa (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Waxaad u baahan tahay in la keeno isla'egta in diyaarad II muuqaalka caadiga ah inay ka sameeyaan:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Xaaladdan oo kale, ρ (x, y, z) waa dulinka gacan of dhibic naga mid ah Q, yaal P, P - waa dhererka P ku dadab, kaas oo la sii daayey ka barta eber, v - waa dulinka unit ah, oo ku yaalla jihada of a.

Farqiga ρ-ρº dulinka The gacan of Q dhibic = (x, y, z), tirsan n iyo dulinka gacan ka mid ah hal dhibic ka siiyey Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) waa dulinka noocan oo kale ah, qiimaha waadaxa ah qiyaas u ah oo ku saabsan v uyeelaysaan kuwo d masaafada u, taas oo loo baahan yahay in la helo ka S = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) si P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, laakiin

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Sidaas waxaa soo baxday,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Haddaba waxaa iska cad in loo xisaabiyo masaafada d ka ₀ ilaa Q P diyaarad, waxaa lagama maarmaan ah in la isticmaalo isla'egta diyaarad view caadiga ah, wareeg ah xagga bidixda ee p, iyo meesha ugu dambeysa ee x, y, oo bedel ku z (hₒ, uₒ, zₒ).

Sidaas darteed, waxaan aad u hesho qiimaha waadaxa ah ee ra'yi dhiibashada ka dhalanaya in loo baahan yahay d.

Isticmaalka soo koobin ee luqadda, aan ka helno wax iska cad ah:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Haddii hal dhibic ku qeexan Q ₀ waa on dhinaca kale ee P diyaarada sida asal ahaan, ka dibna inta u dhaxaysa dulinka ah ρ-ρ ⁰ iyo v waa xagal daacsan, sidaas:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

In kiiska marka dhibic Q ₀ lala asal ahaan ku yaalla dhinaca isku mid ah U ah, xagal ba'an loo abuuray, waa in:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Natiijadu waxay tahay in kiiska hore (ρ ^0, v)> p, ee labaad (ρ ^0, v)

Oo ay isla'eg diyaarad Taabte

Ku saabsan diyaarad dusha barta of Mº tangency - Diyaarad ay ku jiraan oo dhan Taabte suurto gal ah in xariiqa qallooca ayaa barbaro iyada oo dhibic in dushiisa.

Iyada oo qaab dusha this ee isla'egta F (x, y, z) = 0 ee isla'egta of Mº dhibic Taabte diyaarad Taabte ee (hº, uº, zº) noqon lahaa:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (y uº) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Haddii dusha sare waxaa loo dhigay si cad z = f (x, y), ka dibna diyaarad Taabte waxa lagu tilmaamay by isla'egta:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

isgoyska of laba diyaaradood

In meel saddex dhinac-cabbir ah waa nidaamka isku xirka ah (qaab) Oxyz, la siiyo laba diyaaradood P 'iyo P' in daboolaa hana ku beeganto. Tan iyo markii diyaarad kasta, taas oo ah in qaab a duwo habka lagu qeexay isla'egta guud, aynu ka fikirno in n 'iyo n "waxaa lagu qeexaa by isla'egyada A'x + V'u S'z + + D' = 0 iyo A" + B x '+ y Iyadoo "z + D" = 0. Xaaladdan oo kale waxaan leenahay n caadiga ah '(A', B ', C') ee P ah diyaarad 'iyo n caadiga ah "(A", B ", C") ee P diyaarada'. Sida our diyaarad aan la siman oo aadan cimri tahay, ka dibna fallaadhaha, kuwaas oo aan la collinear. Isticmaalka luqada xisaabta, waxaan leenahay xaaladan waxaa loo qori karaa sida: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Oo", λ * In ", λ * C"), λεR. line si toos ah oo ku taala ee P isgoyska ha 'iyo P ", waxaa lagu muujinaysaa doonaa warqad ah, in this kiis = P' ∩ P".

iyo - line ka kooban hannaanka ka mid ah dhibcood (caadi ah) diyaarado P 'iyo P ". Taas macnaheedu waa in ay wadataa of dhibic kasta oo ay leeyihiin a line ah, waa in isku mar ka dhergin isla'egta A'x + V'u S'z ah + + D '= 0 iyo A "x + B' C + y" z + D "= 0. Taas macnaheedu waa in ay wadataa ee barta xal u noqon doonaan gaar ah oo ka mid ah isla'egyada soo socda:

Natiijadu waxay tahay in xalka (guud) ee nidaamka this isleegyo ogaado doonaa wadataa kasta oo dhibcood on line ah oo u shaqeyn doonaa sida dhibic ee P isgoyska 'iyo P ", iyo loo ogaado line a in nidaamka isku xirka Oxyz (laydi) meel.